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这本来是杜车别这些修订版讲明亡的书稿中的一章，可能是因为数学内容不够通俗，和大部分历史评析关系不大出版社删掉了。不过网上有一段，也顺硬转一下：
1、理学、科举导致衰落论据不足
说起宋代数学，我们可列出一大串：贾宪、杨辉的二项式系数展开，贾宪的特定形式高次方程数值解，刘益的首项系数任意的高次方程数值解，沈括、杨辉的高阶等差级数求和，邵雍的大数运算和六十四卦二进制排序，沈括求弧长公式的会圆术，沈括运用指数法则计算围棋状态总数[1]，朱熹、蔡元定的十进制小数转换九进制小数算法，秦九韶解任意次数的高次方程数值解，秦九韶解一般性一次同余式不定方程的大衍总数术，秦九韶解多元一次线性方程组（解法相当于现在的矩阵变换），秦九韶的三角形三边面积公式[2]，杨辉对组合数学的研究等等。
不仅两宋成果辉煌，南宋晚期的金国统治区内也有值得一提的数学成果，到元初还有不错的成绩。而元中期之后，中国数学急速衰落，一些原先已经取得的成就也失传了。这其中原因何在？
不同人会对此作不同解答，其中有代表性观点是认为程朱理学占据统治地位和科举八股所致。
我个人以为这种观点值得商榷。程朱理学并不反对研究数学，而科举也不会真正阻碍数学发展。朱熹曾经说：
“……，数、是算术。而今人皆不理会。六者（指六艺）皆实用，无一可缺。而今人从头到尾皆无用。小儿子教他做诗对，大来便习举子业，得官又去习启事、杂文，便自称文章之士，然都无用处，所以皆不济事。”[3]
朱子对科举无用之抱怨有失偏颇，我们后面再分析，但这段话至少说明理学并不反对人们研究数学。他自己本人也对一些数学问题有过研究。如其在《蓍卦考误》中对《周易.系辞》里“揲蓍之法”进行了详细的辨析阐释。[4]
董光璧对朱熹阐释的占筮程序进行数学分析，认为其中蕴含的机巧构思实质即“数论中的同余式思想。” 秦九韶的大衍总数术（也被称为“中国剩余定理”）实质也是求解一次同余式，“大衍”这个名词就是从《易经.系辞》“大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三”而来。而类似大衍总数术的定理是西方在1801才由高斯给出的。考虑到朱子对筮卦程序的详尽解说，以及南宋后期朱子学的巨大影响力，从兴趣的激发角度而言，很难说秦九韶对这类问题的关注没受到朱熹影响。李约瑟虽未从大衍术角度分析，却也得到秦的数学研究可能受理学影响的结论，他说“很自然，要在秦九韶著作中找到新儒学（即程朱理学）的痕迹是不困难的”[5]。
朱熹另一项值得一提的数学研究是前面提到的十进制小数转换九进制小数算法。《数学辞海第六卷：中国数学史》中说：
“朱熹、蔡元定分别在《周礼》郑玄注、司马迁《史记》律书的基础上给出由三分损益法所得十二律长的十进分数值转换成九进小数值的算法。他们的算法与现代的十进小数换算为九进小数的方法原理相同。这一工作为明代朱载堉的工作奠定了基础。” [6]
这里说到的蔡元定是朱熹的得意门生，建立朱熹理学系统的参与者之一。
从朱子语类看，朱子和其学生讨论的问题并非仅限于实用，还涉及宇宙大小，天地起源，地质构造成因、大X陆架范围、星体的形质、人类起源等等问题。而且他也明确说过：
“格物者：格，尽也。须是穷尽事物之理，若是穷得两三分，便未是格物。须是穷尽得到十分，方是格物”。
“格物不独是仁孝慈敬信五者，……凡万物万事之理，皆要穷。”
“上而无极、太极，下而至于一草、一木、一昆虫之微，亦各有理。一书不读，则缺了一书道理；一事不格，则缺了一事道理；一物不格，则缺了一物道理。须着逐一件与他理会过”[7]
显然朱子所谓格物穷理是不限于眼前的，算术自不例外。而理学奠基人之一邵雍搞的研究更非仅囿于实用。邵雍创立的先天六十四卦方圆图实际上是把原先《易经》里的六十四卦按照二进制的大小关系重新排列次序的结果。另外他还发明了一套大数系统。邵雍让六十四卦的每一卦都代表一个数字，比如乾卦代表1，大有卦代表360的1次方，小畜卦代表360的2次方 ，大畜卦代表360的3次方，……以此类推到剥卦代表360的31次方；然后是夬卦代表12，大壮卦代表12×360，需卦代表12×360的2次方 ，……，同样依此类推一直到坤卦12×360的31次方 。
那这些数字究竟有多大呢？
以姤卦为例，1姤=360的16次方=7秭95866110垓99464800京84391936兆[8]
这里的1兆＝1亿亿=10的16次方；1京＝1亿兆=10的24次方；1垓＝1亿京=10的32次方；1秭＝1亿垓=10的40次方。
也即1姤≈7.9586110994648×10的40次方，这大体上同宇宙半径（光速乘以宇宙年龄）与电子半径的比值在一个数量级上。
最大的坤代表的数字，计算一下为2.11134288×10的80次方，相比之下宇宙总质量和氢原子核的质量之比是10的78次方（也有估计是10的80次方）。
再来说科举的问题，确实，连朱子本人都抱怨科举无用。但所谓当局者迷，有些问题当时人看法未必客观。从实际来说，建立科举制后的宋代数学成果是超汉唐的。
即便对明代，八股文本身不过一种应用文训练，起到智力训练和测验作用，谈不上什么禁锢思想。徐有贞、唐顺之、王徵、徐光启等等在参加科举的同时都有大量精力从事其他兴趣，增长其他方面的才能。更何况在明代科举也非独木桥，可以选择的职业道路相当多，类似周蕙、王艮戍卒、盐丁出身，照样成为万人敬仰的学术大师。
某种程度上，科举对促进数学在内众多学术思想进步是有好处的。道理很简单，众多精英知识分子能有更多的机会聚集在一起，交流知识、拓宽眼界、融汇思想，这在交通通信不便利的古代有巨大意义。类似晚明的西学热潮，本身也和众多知识分子参加科举到大城市（如王徵、徐光启），接触到西学，又回乡散播有关。
2、天元术、四元术的歧途
真正导致中国传统数学在元中期后迅速衰落的原因是什么呢？
我认为还是金朝和元朝建立统治时的大屠X杀和残酷的民族压迫破坏了学术持久传承的环境。
有人会说金末元初的李冶发明了天元术；元初的郭守敬修定授时历，熟练运用了高阶等差级数和高阶差分法的数学技巧；朱世杰发明的四元术，能用相消法求解四元高次方程组，是中国传统数学集大成者。明明金元时期中国数学还是不错的，怎能把落后责任归咎于这两朝呢？
关于天元术和四元术产生背景和意义，许多人有误解，而这些误解又导致人们对金元时期的统治对数学发展的严重破坏和阻碍作用没有一个清晰深刻的认识。
要说天元术，主要有如下三点
第一，天元术的实质是对算筹操作列出方程式过程的书面说明，而非引入未知数
第二、天元术的真正出现在北宋时期
第三、 金对北宋的侵略和后续统治破坏了数学发展环境，迟滞了天元术的推广和更有价值的发展。
未知数的概念在中国早已有之，成书于战国末到西汉初的《九章算术》里就有多元一次方程的问题。只不过概念隐含在算筹的摆放中，而不诉诸文字记录。如钱宝琮说：
“古算一次联立式演算，未知量不以符号表示，但用算筹布其数（系数）于某行某率，列各率之数于上，实数于下，即成一行。”[9]
《九章算术》里已包含从两个未知数到五个未知数的联立方程组的问题和解法，用未知数的概念建立联立方程组的思想是非常清晰的。随便举其中一个例子
“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗;上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上中下禾实一秉各几何?”
其解题过程和现在列出三元一次联立方程组求解区别不大，最大差异仅是并无特定符号代表不同未知数，而是直接把方程系数列成矩阵，通过对增广矩阵的操作求得答案。而到了宋代无论是解多元一次方程组还是求一元高次方程的数值解更发展到相当成熟的地步，许多成果领先西方五六百年。
《九章算术》为代表的算筹体系和现代初等数学之间最本质的区别，不在于是否引入未知数的概念列出方程，而在于是否有必要用明确的符号来代表未知数。从运算过程的经济性原则出发，中国古人显然认为引入额外符号多余，通过算筹摆放位置关系，已能把未知数的信息表达清楚，对于运算出正确结果来说完全足够。
一切包含在默认假定中，不仅代表未知数的符号是多余的，指代运算关系的加减乘除以及等号也都是多余的，需要哪种运算就对算筹进行哪种类型变换操作，而解决数学问题的书面记录无非就是对算筹操作流程的记述。
这种算筹体系对数学问题的解决过程就相当于直接给出一套机械化算法，通过程序化的操作就能给出问题的答案。所以中国古算解决问题的方案，可以很容易一一对应地转换成程序算法，直接在计算机上得出结果，其计算效率甚至比一些西方数学近代乃至现代方法都高。吴文俊院士将中国传统数学特点归结为机械化、构造化，对此有深入研究，并取得了很大成果。
但所谓成也萧何败也萧何，当数学需进一步发展，这种缺乏书面符号，完全依附在算筹操作上的数学体系就遇到了瓶颈。当然瓶颈不是不能突破，关键就在于能否发展出一套独立于算筹操作的书面体系。北宋时期，这种突破已呈现端倪。
据孔国平在《<测圆海镜>导读》一书说，天元术在北宋已经产生，11世纪的洞渊是天元术的先驱，《测圆海镜》中引用的洞渊细草中已明确有立天元一，而洞渊据考证是北宋的洞渊大师李思聪。[10]
另外李冶天元术也受蒋周等人影响，据李约瑟《中国科学技术史第三卷：数学》，蒋周可能就是蒋舜元，早在1080年就写过一部《益古集》[11]。李冶的《益古演段》就是对此书的直接阐释注解。《山西古代数学史述要》一文则说蒋周为北宋X平阳人，学得“立天元一”术，所撰《益古集》在北宋元丰（1078-1085），金大定（1161-1189）年间都曾刊行。[12]
总之李冶“立天元一”非其原创是可以肯定的事实，这即便阅读《测圆海镜》原文都一目了然，无论其自序还是涉及立天元一题目，都从未把所谓立天元当做一种值得特别介绍的新方法提出。
而从种种迹象判断，天元术在李冶这里还产生了某种程度倒退。正如前述，如果说“天元”这个概念有什么价值，那么就是其能够给予未知数一个明确的语言符号，能让传统数学逐渐发展出独立于筹算的符号体系。
但是李冶的立天元一恰恰完全停留在描述筹算操作的阶段，某种程度是将算筹起算点称为立天元，将其赋予特定的实际含义（比如圆城半径），然后进行操作。这个阶段还可以说“天元”确实代表未知数。那么到了筹算图式表达的阶段，汉字“元”就仅是定位符，而非某些人说的未知数x，其作用是说明这个位置的算筹对应的是一次项系数。有时候他也不用“元”，而在常数项旁边写个汉字“太”，只要写了一个汉字确定某行是常数项或者一次项，其他项对应次数则完全由算筹排列的行数来确定。一旦多项式合并结束，方程得出后，连这个定位符的‘元’都不再出现（极少数情况下出现的“元”字样可能是误写或后人篡入。见郭书春《尊重原始文献 避免以讹传讹》一文的考证[13]）。也即在李冶那里凡带有“元”或“太”字样的算筹图式代表多项式而非方程，真正的方程算式则没有“元”或“太”的。显然李冶并不认为有必要用专门符号代表未知数，推导方程时立天元一，仅仅是描述算筹操作，方法也是照搬前人，他甚至都不觉得有什么必要对这个立天元一做解释。
我们说即便不把元作为未知数符号，就用‘元’来代表未知数幂次，进一步推广这种做法，也可看做某种独立的数学符号意识的体现，但李冶显然这点都没有做到。这从他对现已失传的某本数学著作（为方便，后面称为东平算经）的批评可以看出：
“予至东平，得一算经，大概多明如积之术，以十九字志其上下层数 曰：仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼此盖以人为太极，而以天、地各自为元而陟降之。其说虽若肤浅，而其理颇为易晓，予遍观诸家如积图式，皆以天元在上，乘则升之，除则降之。独太原彭泽彦材法，立天元在下。”[14]
以我所见，大部分数学史家如孔国平、李迪、郭书春、钱宝琮等人都把东平算经提到的用十九个汉字代表未知数次幂的做法视为烦琐落后，而将李冶在一次项旁标“元”的做法视为先进，甚至连强调数学文本语言之重要意义的朱一文先生在此问题上都未能免俗。
实则若深入思考，不难得出结论，《东平算经》的做法恰恰是体现了中国传统数学开始从依附算筹摆放的体系向独立数学语言发展的倾向，而李冶的做法是一种倒退而非进步。
比如孔国平先生说东平算经的作者“不懂得用统一的符号表示未知数的不同次幂”，问题是在李冶那里也根本不存在用统一符号表示未知数的次幂，算式里的“元”只能用来标明某行放一次项的系数，其他项则就是通过算筹排列行数来确定。如果要说统一和简洁，那传统不加任何标注的做法最简洁统一，连“元”都不需要，直接就是从上到下第一行为常数，第二行为一次项，第三行为二次项，依次类推。
若这种逻辑贯彻到底，连“元”这个标注符号都取消，才是最进步的。实际果然到朱世杰《算学启蒙》，表示多项式的天元式都不标注“太”或“元”了。这就是让数学完全回归到依附算筹摆放来传达信息的的死胡同里去了。
用十九个字代表未知数的负九次方到九次方，对算筹操作确实多余，但为表达式从算筹体系中解放出来提供了可能。随便举个例子，原先类似 这样的的多项式，按李冶方法记录在书面需十层，中间八层则记录○，而按东平算经只需要两行就成，甚至记录在一行表达为 （算筹数字上的斜杠，类似现在负号） 也可一目了然，如再引入甲乙丙丁戊己庚辛之类代表未知数，则一个多元多次方程可记录在同一行里，这按李冶和朱世杰的思路是不可能的。
这种用不同汉字和未知数次幂一一对应的方法和三四百年后西方表达多项式做法有相通处。1585年荷兰的斯提芬用2③+8②-24①-96 代表多项式 1601年德国列玛用25Ⅳ+20Ⅱ-10Ⅲ-8Ⅰ代表多项式 ，到1637年笛卡尔才用字母加右上角数字来表示次幂。[15]
东平算经里十九个汉字实质等价于数字序号，和后来西方人做法区别仅仅是前者用汉字，后者用罗马数字或圈内数字。进一步发展完全可演变成一个特定汉字（简化点可用笔划）表示未知数再加一个特定形式的数字表示次幂。而按李冶和朱世杰思路，永远都不必给每个次幂指定一一对应的符号。
所以问题不在于繁琐或简洁，中国传统算筹体系不是不够简洁，而是太简洁了，简洁到所有能省略的东西都省略掉了，表示运算的符号省掉了，表示未知量的符号也省掉了。这种简洁的代价就是数学成为算筹体系附属品，无法往更抽象，更高级阶段发展。不能用独立符号来代表未知数（李冶用的“元”只能附属于算筹的摆放），就很难产生函数概念和一般表达式，而不能产生函数，也就无法产生导数、积分的一般方法，微积分也就不可能出现。
北宋已出现的“立天元”，随着正常学术发展历程，应该是能够向全国扩散，逐步演变成用独立符号代表未知数的。遗憾的是，随着金国入侵和屠X杀破坏，这一数学思想在一百多年的时间里沉寂了下去。
对于金的入侵对宋代数学造成的破坏，日本科学史学者薮内清在其论文中说：
“北宋时期活跃的科学技术活动，因靖康之变而遭到了沉重的打击”
“南宋遭到的打击是极大的，象《纪元历》在一段时间内也完全丢掉了，经南宋初的高宗热心搜集，才由政府得到。元丰年间刊行的《算经十书》失掉了，到宁宗嘉定年间，才好不容易由鲍澣之重刻。”
“靖康之变造成了传统的中断，而政府欲使之复活时已经晚了，元灭了南宋”
“金末独创性成就是以北宋时代确立的学院式学问传统为基础的”“靖康之变中，这种学院传统遭到了重大打击”[16]
到一百多年后的金末，李冶虽运用描述这一方法，却比在他之前的东平算经的思想更倒退，使天元术固化为一种单纯对算筹操作说明的手段，放弃了使其演变成独立的不依赖于算筹的数学语言体系的可能。
由于李冶本人同金、元统治者的合作，其错误数学方向产生了更大的影响力，这直接导致元初朱世杰受其影响，完全陷在天元术只能是算筹体系附属品的泥潭中不能自拔。既然算筹的一个方向的排列次序能用来代表一个未知数的次幂，那要把多个未知数的各个次幂放在同一多项式里，就只能利用东南西北四个方向，未知数之间的乘积组合就只能放在各个方向夹角当中，就这样利用一切方向的空隙还捉襟见肘。这就是朱世杰的四元术。
四元术其实已穷尽了用算筹摆放位置表达数学信息的可能。朱世杰所谓的“天”、“地”、“人”、“物”的四元同样不是独立未知量符号，他在实际给出的算筹图式中不标注天地人物，直接就在中央标注一个“太”表示常数项就行了。按照李冶和朱世杰这种让天元术固化在算筹体系中的思路，中国传统数学确实走向了无法进一步发展的死胡同里去了。
另一方面南宋的秦九韶从另一方向开始了数学文本符号化进程。据郑诚、朱一文对明钞本《数书九章》的研究，秦九韶在算筹图中引入了不同的双线、单线符号用来代表加减乘除：
“赵琦美钞本中的连接线段应是秦书原有内容, 在现存各本中最为接近秦九韶原稿。这类连线在某种意义上发挥了现代运算符号的作用, 在现存中国古代数学著作中是独一无二的”[17]
可惜秦九韶开启的趋向又被元朝对南宋的侵略所打断。而随着元明之际，算盘逐渐代替算筹，附属于算筹的数学体系发展到一定程度不但难以为继，而且本身获得成就也被逐渐遗忘。朱一文说：
“实际上笔者内心更倾向于认为是蒙古人的入侵引发的社会变革导致导致筹算发展的中断（更准确说应是筹算数学向文本符号数学发展的中断——引者注）。尽管蒙古统治者制定了若干数学政策，然而这些政策往往是对计算能力提出的要求。而单就计算而言，筹算优于文本，算盘又优于筹算。在此进路上，算盘代替筹算是再自然不过了。但是由此导致的更为严重的结果是中国传统数学丧失了发展文本数学的契机，有明一代未走出实物数学。而离开数学文本语言，任何代数学或现代数学都无从谈起。”[18]
可以说正是金和元对宋朝两次侵略和民族压迫打断了中国数学发展的正常进程，导致算筹数学不能正常升级为文本符号数学。计算工具换代为算盘，数学语言却停留在算筹时代。这也解释了为什么传统数学看似在元初达到了高峰，之后却急速下坠，限于停滞。
打个比方，如果把中国数学比作一枚火箭，那宋代是已开启了发动机，火箭腾空而起，金的入侵导致北宋灭亡，发动机局部损坏，功率下降，到了元灭南宋，则发动机全部停机熄火。由于惯性，火箭仍不会直接下坠，而会继续往上升一段时间，一直升到最高点之后，才下坠。这个过程也正是中国数学在宋金元时期的轨迹。到了元末，已谈不上像样的数学传承了。
过去许多人出于偏见认为中国数学落后是明代造成的，这有失公正。一些数学史家一边说明代造成数学落后，另一边也不得不承认中国数学的失传和停滞在元末就如此。比如吴文俊院士说：
“在当时与阿拉伯世界的交流日益加强的情况下，如果放弃算板，采用其他系统，数学将面临空前繁荣的时代。但事与愿违，由于种种原因，到元朝末年，深入研究的工作停止了，数学处于停滞不前的境地。到明末利玛窦到中国时，已经没有一个高级知识分子懂得《九章算术》。”[19]
元朝的大屠X杀和贯穿始终的民族压迫政策对数学发展造成的破坏作用是值得探讨的一个问题。元初成就较大的几个数学家几乎都是北方汉人，而本来数学发达的南方却不见踪影。这和元的等级制中汉人（北方汉人）排第三等，南人排在第四等当有一定关系。
元统治者征伐各地进行屠城时，往往保留有实用价值的工匠，屠尽其他平民。数学家在他们看来无非一种可以利用的匠人，这可解释为什么元初郭守敬之类能被统治者起用。但也正因一切都不过服务于统治目的，尽管郭子敬本身才华卓越，理论上也有造诣，但其撰写的数学和天文著作，却全部锁藏深宫，最后一本都没流传下来。
而另一数学家朱世杰虽在民间游学授徒，但民族压迫的大环境下，很难形成健康的渴求知识、发展学术的良性循环的氛围。尽管有记载说当时向朱学习四元术的人很多，但历史事实表明这种所谓的学习并未产生有效传承，人们的好奇心大多被民族压迫下的窘蹙焦虑遏制，最终其成果被遗忘也就不足为奇了。
值得一提的是元时期，大量色目人、阿拉伯人来华，其间不乏天文数学专家，据李约瑟说，《几何原本》阿拉伯版本甚至翻译本也已流入中国、如按正常轨迹，中国完全可从阿拉伯学到更为书面化的数学体系和西方公理演绎系统，但遗憾的是这也没能实现。个中原因恐怕也和民族压迫时期，人们的精神面貌变得麻木、狭隘、缺乏好奇心有关。这正如阿拉伯被蒙古侵略后，文明陷于停滞保守。薮内清也说：
“蒙古人本身不是具有高度文明的民族，它没有积极起到相互介绍东西方文明的作用，可以说是把阿拉伯的影响限X制到了最低限度”[20]
当然有人会说即便元朝让中国数学失去突破良机，走向停滞衰落，那明朝去掉了这些不利因素，应该很快恢复活力，为何在利玛窦来华前仍进展不大？
其中原因除了前述算盘代替算筹，学习传统算筹体系的基础人群大大下降外，最根本因素还是传统一旦打断，很难短时间内恢复。打一比方，灭绝一种生物容易，几十年时间就行，但你要大自然重新演化出这种生物，耗费时间不可想象，甚至难以实现。有些过程并非许多人想象的那么容易，一些文明成果往往是几千年持续积累的结晶，那些超出于眼前实用的领域，一旦被打断，哪怕社会环境，周边条件再有利，要两三百年内恢复都极困难。这中国如此，西方亦如此。罗马帝国被灭以后，西方无论科技还是艺术，许多成果用了一千多年时间，才逐渐恢复。
3、西方数学衰落和复兴的启示
我们承认数学在明代的落后，但也须认识到背后的历史原因，这个原因不是明朝造成的，而是金和元对两宋的先后入侵以及残酷的民族压迫打断了传统数学发展的正常趋势，造成了算器和数学语言发展之间的严重脱节。
任何民族都不可能在所有领域一直保持领先。一些人艳羡的西方自西罗马帝国衰落直至被蛮族灭亡，各领域全面落后中国时间跨度更长——从三世纪后算起，到十六世纪中期，长达一千年以上。数学也同样如此，不仅长时间落后，甚至当先进的知识体系已传入欧洲，他们在近三百年时间内仍不能完全消化吸收，处于停滞状态。
波耶的《微积分概念史》中说：
“直至十二世纪阿拉伯文、希伯来文、和希腊文手稿的拉丁文译本出现之前，欧洲人对古代论著多不熟悉。”
“当十二和十三世纪希腊著作出现拉丁文译本时，它们并没有引起欧洲学者热烈接受，因为这些人寄兴趣于神学与玄学。”
“中世纪后期对希腊几何学的不够注意，正如它对希腊和阿拉伯代数方法缺乏热情那样。在十三世纪的1202年，由于比萨的利奥那多的《算法之书》的问世而出现了光明的前景。然而在以后的约三百年间（相隔292年），直到1494年出现了卢卡.巴西奥利的《算术大全》才有足与《算法之书》比美的著作继之而起。这个时期数学传统的前进不力，曾引起对这个时期的数学工作极为严厉的批评”
“汉克尔在《古代和中世纪数学史》，第394页说：‘人们惊奇地发现利奥那多给予拉丁世界的那一磅钱，在三百年间，丝毫没有生出什么利息。’”
“白卓恩波在其《中世纪数学文稿作者书目汇编》，第326页说‘这个时期没有任何发展，要想找到重大的数学发展，那将是徒劳的’”[21]
当然，波耶出于美化西方需要，仍竭力粉饰这段时期，找出一些无穷小无穷大的玄学争论，试图将其和微积分思想联系起来。若这种美化能成立，那我们把庄子和惠施说成微积分先驱也并无不可，更别说刘徽、祖暅、沈括之类直接从数量关系提出积分原理的中国数学家了。
吴文俊院士在《中外数学史讲习班开幕典礼讲话》中说
“有一位比利时的数学家名叫莱伯热希特，他到中国来座谈，我参加了。他讲过一些话，大意是：‘把希腊抬那么高，是当时欧洲人要从落后状态解放出来，需要一种思想来鼓舞。他用了一个名称叫‘欧洲中心论’——认为什么文化都是发源于欧洲的，你们东方嘛，都是野蛮民族，一切文化都是从欧洲传过来的”
“在古代是相反的，我们东方的文化是处在先进的地位，而欧洲是非常落后的，是一个宗教的黑暗时代，没有什么文化。十二、十三世纪，他们甚至认为加法都是学术上很难的东西，数学教科书上讲加法就很不错了。”[22]
由以上事实可见因为一个民族在某个领域的局部落后就断言该民族本身注定要在这领域落后是何等荒谬的观点！
西方近代领先，也不是天上掉下来，也是长期落后，接触到先进的阿拉伯、印度、中国、古希腊古罗马的科技文化，通过四五百年时间的学习和消化，才逐渐实现追赶乃至超越。而最终反超的过程还是拜蒙古对其他文明摧残、阻滞所赐。
吴文俊院士曾经用一张图来说明西方数学和其他文明数学之间的关系：
我个人感觉这张图还是不太完备，实际上不仅印度数学几乎全受中国影响（可见吴文俊、李约瑟的论述[23]，当然印度在三角学上是有自己独立的创造），而阿拉伯数学也曾受中国影响[24]，印度对阿拉伯也有影响，古希腊对欧洲除了通过阿拉伯的间接影响外也有直接影响，中国古代对欧洲数学也有部分模糊的影响。
西方数学发展经历了落后、学习、赶超的过程，中国数学在元中期后的停滞比起西方中世纪程度还轻一些，只要能接触能学习，实现赶超并不困难。
落后本身并不可怕，关键是在和相对先进的知识体系接触之后，能否清醒意识到自己的落后，意识到后能否有虚心学习的态度，这才是关键所在！
明代晚期的中国知识分子在这方面交出了一份令人满意的答卷，他们一旦接触到西方数学体系，就立刻虚怀若谷，如饥似渴的学习起来。这种反应的迅捷比起西方十二世纪引入古希腊著作和阿拉伯数学知识后的麻木迟钝，用三百年时间才逐渐开窍的表现来，不得不说出色许多。
利玛窦等人来华原意是传播宗教，但他们很快发现中国人更感兴趣的是数学、天文、地理等知识：
“任何可能认为伦理学、物理学、数学在教会工作中并不重要的人都是不知道中国人的口味的，”[25]
利玛窦于1608年8月22日写给罗马总会长阿桂委瓦神父的信中坦承:
“我们的著作中，使中国人最感兴趣的首推世界地图与数学之类的书籍。以及其他介绍新奇事物的书籍。他们前来请教，获得他们的赞许，对我们十分佩服”[26]
也正因为此，传教士们不得不把宗教内容包裹在科学知识的外衣下面，曲线传教。应该说他们并未完全达到目的，中国固有理性传统让明代知识分子群体大多采取了去其糟粕，取其精华的态度。对西人宣扬的愚昧落后的宗教内容或摒弃或改造，而对其传递的有价值的知识则虚怀若谷地进行吸收消化。
有一些人名义上加入天主教，真实目的则是借此学习西方的数学和科技知识。甚至有一名中国学生张养默直接劝告利玛窦“不必反驳异教邪说，只专心教授数学就好了”[27]
利玛窦在书信中曾经哀叹其他地区传教的战果是多么辉煌，而对比之下他们在中国则连“播种的时期”都算不上。与这种哀叹形成鲜明对比的则是他在信中常常眉飞色舞的炫耀通过传播数学知识，中国人是多么的尊敬他们。
3、晚明引入欧洲数学体系的意义
吴文俊院士对晚明时期利玛窦等人来华，有一个判断，说他们是不怀好意，甚至说对中国数学的发展起到了极为不好的作用：
“从明末利玛窦怀着不良企图以介绍西方数学为名，打入我国统治集团内部以来，我国数学与古代相比已谈不上什么创造，基本依靠国外的技术输入，在国外的屁股后面爬行了。”[28]
至于和利玛窦等人合作翻译引进西方数学的徐光启，吴文俊院士也引用沈康身的话评价说：
“他（徐光启）最后的结论是，‘虽失十经，如弃敝屣矣’。措辞推重外国，对我国固有创造发明，反多诋毁，数典忘祖，这是极不应该的”[29]
当然吴院士说法有一定理由，在他看来，中国传统数学有不容抹杀的价值，一定程度上比希腊式数学更优越。近代数学几大成就如微积分、解析几何、线性代数都和中国传统数学更接近，而距离希腊数学更远。微积分需要的极限概念，中国有刘徽十进制小数逼近圆周率的思想对应；微积分需要的积分原理，则有中国传统的祖暅原理对应；微积分不讲严格的逻辑推理（牛顿到死没弄清无穷小量概念）相反更注重实用性，这也和中国传统数学的特点相符合。解析几何是中国传统千年一贯的几何代数化思想的体现：
“几何与代数的统一处理是乃是我国古代数学的一个传统特色，从《九章算术》以来就向来如此”“16世纪以前，除了阿拉伯某些著作外，代数学基本上是中国一手包办了”[30]
线性代数和中国数学关系更近，《九章算术》和秦九韶《数书九章》里解线性方程过程就是矩阵变换的过程，日本17世纪数学家关孝和提出的行列式概念也是直接继承宋代筹算体系自然延续的结果。
至于希腊的欧几里得几何系统则“阻碍了代数学的发展并使之瘫痪”。“欧几里得几何学演绎体系的一个根本弱点，是它难以据此获得新的事实。如果事先没有其他方法获得的正确结论，即使要证也无从证起”。欧几里得的定理证明需要“高超的艺术”，“特殊的技巧”，与机械化毫无共同之处，和解析几何、微积分代表的思想是背道而驰的。有了解析几何，定理证明“有些机械化而容易入手”，有了微积分一些问题“机械地计算一下导数就行了”。 [31]
总而言之，吴文俊院士的结论是：
“微积分的发明乃是中国式数学战胜了希腊式数学的产物”“微积分的发明上中国式的数学远远优越于希腊式数学” “我们有理由可以进一步说：近代数学之所以能发展到今天，主要是靠中国的数学，而非希腊的数学，决定数学历史发展进程的主要是中国的数学而非希腊的数学。” [32]
根据这些观点，我们当然不难理解为何吴文俊院士抨击利玛窦怀有不良企图，为什么说徐光启是数典忘祖了。按这种观点，引入西方数学在当时不仅没必要，简直是破坏中国数学发展的罪人。
当然吴院士许多观点是深刻的，我们也能理解他的义愤。但他就是忘记了一点，传统数学千好万好，唯独缺少一个完全独立的书面化数学语言体系，这恰恰是最致命的一点。
传统数学种种成就辉煌只能说明中国人并不缺少研究数学的才华。但在没有成熟的书面体系情况下，再多数学才华都可能无处施展。宋代本有可能发展出这样的体系，结果被金、元两次入侵打断，李冶、朱世杰等人实际上强化了传统数学对算筹操作的依赖性，一旦算筹被算盘代替，不要说发展到新的高度，就是继承原来的成就都变得困难起来。
明代晚期西方数学传入中国最大的意义其实不是欧几里得几何传入本身，而正是把数学书面语言和算具分离的做法引入中国。
说传教士有不良企图或许没错，但不良企图也须在好意包装下才有实现可能，完全否定徐光启等人引入西方数学的意义，甚至说他们数典忘祖，这是过于偏激了。
有些人贬低晚明引入西方数学的意义，说欧氏几何都是西方接近两千年前的东西了，这其实也是建立在很大误解基础上。光说欧几里得几何本身，很难说什么两千年前的东西，西欧引入这个体系是在12世纪，真正掌握这个体系也在15世纪左右。而且吴文俊院士也指出，所谓的《几何原本》早经无数后人改写添加：
“现在的《原本》绝非欧几里得原来的写本。现在所见《原本》的各种抄本中，最早的希腊文抄本在公元后十世纪时，距今人近而据欧几里得远。”“欧洲习惯在传抄时往往以己意随意添加删补而不加注明”[33]
从此意义上说《几何原本》知识对当时欧洲人也是新的。
至于《同文算指》系统把欧洲笔算引入中国则属更新的知识。李约瑟《中国科学技术史》数学卷中说：
“人们常常忘记欧洲代数学的符号系统是发展得非常缓慢的，‘加’（plus）和‘减’（minus）这两个字起初都是在试位法中使用的，后者是在十三世纪，而前者则到十五世纪才开始。近代的‘＋’号和‘－’号最早出现在1489年的一本算术书中，乘号‘×’直到1600年左右才开始发展起来，除号‘÷’则晚至十七世纪”
“在明代以前，欧洲代数学还没有自己的符号系统。欧洲符号发展的过程恰恰出现在中国古代代数方法处在低潮的时候；耶稣会传教士把欧洲代数学介绍过去时，他们带去的不是由来已久的的东西，而是至少技术上比较新的东西。” [34]
《同文算指》虽未使用加减乘除的符号，但在书中解二次方程的算式图中，却可看出李之藻已有运用符号表达数学意义的清晰意识，其中运用点号、括号、以及矩形多边分隔线表达算式，这在过去是没有的
西方能发展出这么一套符号体系，并非有什么独特天才。他们的数学更侧重书面化，数学符号正是在表达的需要下不断产生。即便如此，也耗费了漫长时间，逐步累积而成。在中国自身的数学符号化进程被金、元统治打断的情况下，明代知识分子引入西方笔算系统，这在当时是有其巨大意义的。
如这种引进西学和探求自然科技知识的热情能延续下去，新符号体系和中国传统数学结合，则当时中国数学迅速腾飞乃至反超西欧有很大可能。遗憾的是清朝建立之后，统治者虽将西方数理知识作为满足自己虚荣心的工具，也组织编篡过《数理精蕴》之类书籍，其中也引入过西方算符，但早严重落伍于世界数学发展潮流了。残酷的民族压迫和接连不断的文字狱也阉割了士人探求新知的热情，在国人精神普遍麻木奴性，社会氛围日趋封闭狭隘的大环境下，中国数学自无法产生什么像样突破，除了明朝留下的一批才华卓越、兼通文理的遗民和其子孙值得一提，以及明安图之类清廷豢养的一二奴才弄出点零星东西以供点缀之外，几乎就拿不出什么像样的东西。虽然当时东西方交流的优越条件是空前未有的，但中国数学和西方的差距却反在清初之后急速扩大。
[1] 李迪《中国数学史简编》,辽宁人民出版社1984年第1版，第164页
[2] 《吴文俊论数学机械化》，山东教育出版社1996年，第178、146页. 吴院士说古希腊海伦的数学著作最早是十九世纪初期1814年才用意大利文刊行的，其内容被编纂增改过，且从秦九韶公式简化成海**式比较自然，而由海**式转换成秦九韶公式则不可思议。似暗示西方之海**式或在秦九韶公式后才出现。
[3] 《朱子全书》，第15册 第1218页
[4] 《朱子全书》，第23册第3219-3239页
[5]李约瑟《中国科学技术史第三卷：数学》，科学出版社，1978年出版，第96页
[6] 《数学辞海第六卷：中国数学史》，山西教育出版社、东南大学出版社、中国科学技术出版社2002年出版第13页
[7] 《朱子全书》，上海古籍出版社2010年版，第14册第463，474，477页
[8] 《邵雍集》，中华书局2010年出版，第70页。此处把中文换成阿拉伯数字，
[9] 《钱宝琮科学史论文选集》，科学出版社1983年第1版，第12页
[10] 孔国平《<测圆海镜>导读》，湖北教育出版社1997年出版，第6页
[11]李约瑟《中国科学技术史第三卷：数学》第92页
[12] 杨小明、高策《山西古代数学史述要》，《科学技术与辩证法》2001年6月
[13]郭书春《尊重原始文献 避免以讹传讹》，《自然科学史研究》第26卷，第3期（2007年）
[14] 李冶《敬斋古今黈》拾遗卷一，据聚珍版丛书本排印，见《丛书集成初编》王云五主编，商务印书馆发行，第216册第123页
[15] 查永平《中西数学符号之比较与不同结局》，《科学技术与辩证法》1998年12月
[16] 薮内清《宋元时代科学技术的发展》，《科学与哲学》1984年第1期
[17]郑诚、朱一文《<数书九章>流传新考—— 赵琦美钞本初探》，《自然科学史研究》第29卷第3期（2010年)
[18] 朱一文《数学的语言：算筹和文本——以天元术为中心》，《九州学林》2010年冬季刊
[19]《吴文俊论数学机械化》第95页
[20]薮内清《宋元时代科学技术的发展》，《科学与哲学》1984年第1期
[21] 波耶《微积分概念史：对导数和积分的历史性的评论》，上海人民出版社1977年出版，第69-71页。
[22] 《吴文俊论数学机械化》第206，207页
[23] 《中国科学技术史第三卷：数学》，第24页，印度数字一无零号，二受十的倍数独立记号所累；第32页，“西方后来习见的‘印度数字’背后，位值制早已在中国存在了两千年”；第61页，《九章算术》代数问题出现于后来的印度数学著作中，并传到中世纪的欧洲；第326页，《九章算术》的体积公式重新出现在印度人的著作中，中国犯的一些错误在印度著述中重现。《吴文俊论数学机械化》，第204页，英国数学史家kaye明确说“印度数学是欠了中国数学的债的，印度的数学是从中国传去的”；第75页中外数学对照表，列位值制十进位计数法、分数运算、十进位小数、开平方开立方、算术应用、正负数、联立一次方程组、二次方程、三次方程、高次方程数值解在中国和印度及西方出现的时间。
[24]《吴文俊论数学机械化》，第78页，几何代数统一处理是我国古代数学传统，花剌子模的著作“如果不是阿拉伯自己的发明创造，必然渊源于中国”。
[25] 金尼阁《利玛窦中国札记》，何高济、王遵仲、李申译，中华书局1983年版第347页，第四卷第五章《数学和皈依者》
[26]《利玛窦书信集》下册，罗渔译 ，光启文化事业，民国七十五年九月初版，第392页
[27] 利玛窦《中国传教史》下册，刘俊余、王玉川译，光启文化事业，民国七十五年十月初版，第300页
[28] 《吴文俊论数学机械化》第73页
[29] 《吴文俊论数学机械化》第148页
[30] 《吴文俊论数学机械化》第78页，第76页
[31] 《吴文俊论数学机械化》第80，第127页，第374页
[32] 《吴文俊论数学机械化》第79页，第80页，第81页
[33] 《吴文俊论数学机械化》第195页
[34] 李约瑟《中国科学技术史第三卷：数学》，第255-256页
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发表于 2017-10-25 23:26:37