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与动力系统有关的学科交叉 动力系统是数学的一个分支，它的理论基础是庞加莱研究动力学时创建的微分方程定性理论。美国数学家伯克霍夫在此基础上对微分方程的相轨线性质加以抽象，给出了动力系统的数学定义。 二十世纪下半叶，相继产生了一批与动力系统紧密联系在一起的新兴学科如系统论、控制论、突变论、协同论、耗散结构论和混沌理论等。这些理论的共同特征一方面是都运用了动力系统中的数学工具，另一方面就是学科交叉的色彩极为浓厚。比如贝塔朗菲本人是理论生物学家，他创立的一般系统论则被广泛运用到了物理、生物、化学、精神病学等领域；控制论的创始人维纳本来是数学家，而控制论的思想则是他在研究火炮控制以及和病理学家罗森勃吕特等人合作研究小脑损伤引起的目的性震颤病人的行为时产生的；耗散结构论的创始人普里高津年轻时沉迷于考古学、哲学、音乐，大学里学的是物理学化学，而耗散结构论则源自于他对非平衡热力学的研究，这个理论诞生以后被广泛运用到了力学、化学、生物学、社会学等等方面；此外象协同学是从研究激光出发推广到了其他自然科学和社会科学，混沌理论是始于美国气象学家洛仑兹对一个三维的微分方程组Lorenz方程的研究。这里最值得注意的不仅是以上的这些理论几乎牵涉到了所有的自然科学，更为重要的是它们在自然科学和社会科学之间架起了一座桥梁。 本文的目的并不是要对以上的理论进行介绍，而是要运用系统论、耗散结构论、混沌理论的概念思想对毛X泽X东在《矛盾论》中的一个观点进行批驳，并提出正确的观点，然后用这个观点去分析考察数学的发展同其他学科的发展之间的关系。不过这里首先应该申明一下由于时间和文章篇幅的关系，所表达的观点和概念在许多地方都只能是粗略大概的，我这里所希望的仅仅是能把大概思想表达出来就可以了。 首先我们把需要用到的耗散结构论的基本概念和观点叙述一下。 1、 孤立系统和开放系统：孤立系统是不受外界影响，即和外界没有物质或能量交换的系统。开放系统则是和外界有能量或物质交换的系统。一般来说在现实中绝对的孤立系统是不存在的。但我们可以把某些系统近似的看成是孤立系统。另外我们或者可以从数学上定义一个开放或孤立的量度。比如A是一个系统，P（A）代表这个系统的开放度。P（A）=0时这个系统是孤立的，而P（A）=1时这个系统就丧失自己的独立性。 2、 熵、有序性、对称性：熵这个概念是从热力学第二定律中引发出来的，在这里我们没有必要给出它的严格定义，只需要知道它是无序性的量度也就可以了。也就是说一个系统的熵越高,它的有序性就越低。同样一个系统的对称性越高，它的有序性也越低；而有序也就意味着对称性破缺。 3、 耗散结构：系统远离平衡态情况下形成的有序结构，因为为了维持这类结构必须不断对系统做某种形式的“功”，即不断的耗散能量，故称之为耗散结构。 4、 在孤立系统中，系统的总熵不断增大而达到最大值。这也就意味着一个系统要保持其既有秩序或增加其既有秩序就必须是开放的。但另一方面如果一个系统的开放度过大，那么它的吸收负熵的能力将取决于高一级的系统 5、 耗散结构形成必须满足的三个条件：第一、系统必须是开放的，第二、系统必须远离平衡态，第三、必须存在非线性的反常涨落。 接下来我们要做的工作就是对毛X泽X东在《矛盾论》中的观点进行分析和批判。毛X泽X东说：“和形而上学的宇宙观相反，唯物辩证法的宇宙观主张从事物的内部，从一事物对他事物的关系去研究事物的发展，即把事物的发展看成是事物内部的必然的自己的运动，而每一事物的运动都和它周围的其他事物相互联系着和相互影响着。事物发展的根本原因不是在事物的外部而是在事物的内部，在于事物内部的矛盾性。事物内部的这种矛盾性是事物发展的根本原因，一事物和其他事物相互联系和相互影响则是事物发展的第二位原因。” 毛X泽X东在这里所表达的观点当然是完全错误的。事实上，从耗散结构论的观点来看，一事物同其他事物之间没有相互联系和相互影响，那么这个事物就只能算作一个孤立系统，而一个孤立系统的状态虽然也会发生变化，但这种变化不是发展而是退化，这个事物的熵不断增加，有序度不断减少，直至达到平衡态。而要使一个事物有序性增加，要使它远离平衡态，向一个更高级复杂的组织结构演化，那么这个系统就必须是一个开放系统，必须同外界保持着物质能量的交换。也就是说外部矛盾的存在是事物发展的必不可少的条件。所以很清楚，事实正好同毛X泽X东所说的相反，所谓“事物内部的必然的自己的运动”如果存在的话，那只能是退化，只能是熵的增加（按照热力学，熵的增加正是每个事物内部自发的过程）；而发展，也就是负熵的增加，却正是一个事物同外部环境作用的结果。 当然有些人可能会为毛X泽X东辩护说：“毛X泽X东的观点是从大量现实中的事实总结出来的，你又怎么能用一些笼统抽象的概念来加以否定；更何况毛X泽X东也没有否认外部矛盾对事物发展所具有的作用，他只不过是说事物发展最根本的原因是在事物的内部”。 的确毛X泽X东在后面举了大量的例子来说明他的观点，他说：“植物和动物的单纯的增长，数量的发展，主要是由于内部矛盾引起的。¼¼唯物辩证法并不排除外部的原因。唯物辩证法认为外因是变化的条件，内因是变化的根据，外因通过内因起作用。。鸡蛋因得适当的温度变化为鸡子，但温度不能使石头变化为鸡子，因为二者的根据是不同的。¼¼两军相争，一胜一败,皆决于内因。胜者或因其强，或因其指挥无误，败者或因其弱，或因其指挥失宜，外因通过内因而引起作用。¼¼一个政党要引导革命到胜利，必须依靠自己政治路线的正确和组织上的巩固。” 毛X泽X东在这里看来是犯了很多错误。首先植物和动物的增长并不能说主要是内部矛盾引起的。任何生物如果不同外界环境进行物质能量的交换，那么都是无法生存下去的。也就是外部矛盾的存在对生物的增长发展是必不可少的，当然生物内在的结构对其增长发展来说也是必不可少的。但如果在两个要素都是必不可少的情况下非要厚此薄彼，说“主要是¼¼引起”的，却又不给“主要”这一概念下一个严格的定义，这在逻辑上至少是很不严谨的吧！鸡蛋的例子之不恰当也是同样的道理。至于说：“两军相争，一胜一败,皆决于内因”，那就滑稽了。强大也好，弱小也好，都是通过比较得来的概念，你强大，别人可能更强大；你弱小，别人可能更弱小；而同样的，空洞地说“指挥无误”或“指挥失宜”也是没有意义的，关键还是要通过比较才能知道谁的指挥能力更高。所以把这些因素算作是内因，那只好说毛X泽X东是缺乏点起码的常识了。 毛X泽X东在这里所犯的更根本的错误则在于他是静态地来考察问题。事实上他是抽取了一个静态的时间片段，在这种情况下我们考察内部矛盾和外部矛盾或内因和外因对事物发展的影响时，我们至多能得出结论，这两者同样的重要，同样的必不可少，占有同等的地位。 但如果我们能从一长段的历史时期考察的话，情形就两样了。我们可以明白矛盾是推动事物发展的动力，而事物发展的根本原因则是外部矛盾的作用。事实上内部矛盾的产生发展变化都要受到外部矛盾支配性的影响。内部矛盾是相对的，外部矛盾是绝对的，内部矛盾从根本上讲可以归结为外部矛盾。 就拿生物的例子来说，生物的内在结构形态归根结底都是在外部环境的作用下形成的。从无机物到有机物，从有机物到单细胞生物，再进而发展到形形色色的复杂生物，这些过程如果离开了适宜的环境，那是难以想象的。而且外部环境每时每刻都在塑造改变着生物的内在特性，尽管在短时间内这种改变可能微小到不能被察觉的地步，但长时间下来这种改变就可能具有决定性的影响。所以正是从这个意义上可以把事物的内部矛盾看成是对历史积累的外部矛盾的记忆。 我们还可以举一个人的成长过程的例子。对一个人来说最核心最根本的一些东西如他的性格、他的思想、他的知识记忆，他的思维方式等等都不是生来就有的，而是在他与其他社会成员的相互作用中形成的。所以这些对他来说是内部矛盾的东西的形成变化，归根结底还是受外部矛盾的支配。如果一个人作恶多端，那并非因为他是天生的恶棍，实际还是环境造成的结果；如果一个人能够出污泥而不染那归根结底还是在他的性格思想形成的时期外部环境中某些好的因素给予了他这种能力。 为了使我们的观点更有说服力，我们还必须对毛X泽X东提出的一个问题作出解答。毛X泽X东说：“单纯的外部原因不能说明事物何以有性质上的千差万别及其互相变化。¼¼社会的发展，主要不是由于外因而是由于内因。许多国家在差不多一样的地理气候条件下，它们发展的差异性和不平衡性，非常之大。” 其实关于这个问题是可以用混沌理论加以说明的。混沌如果通俗点说就是“确定性系统变化的极端复杂和行为不可预测”。从数学上讲，某类差分方程或微分方程，如果初始条件精确给定的话，那么系统的解实际上是完全确定的，但如果初始条件稍有轻微的变动，在一段时间的演化之后，解的行为就会变的完全两样，这就是所谓对初始条件的敏感依赖性（当然混沌并不仅仅就是如此，但这里不可能作更详细的说明）。因为这个特性，发生混沌时，初始条件任何微不足道的差别，都会使事物的演化变得复杂多样和无法预测。美国气象学家洛伦兹在1963年对此曾经作出过形象的说明：“巴西境内的一只蝴蝶煽动翅膀，可能引起德克萨斯州的一场龙卷风。”人类社会演化的复杂性并不亚于天气系统。地理气候的条件，在人类社会发展的过程中所起到的正是初始条件的作用。而所谓“差不多一样的地理气候条件”，归根结底还是有一些微小的差别，正是这微小的差别使得在几千年，几万年的演化之后出现了“许多国家在差不多一样的地理气候条件下，它们发展的差异性和不平衡性，非常之大”这种情况。而这种混沌现象出现的原因恰不在于人类社会的内部矛盾。从数学上讲，是否会出现混沌同差分方程或微分方程的形式有关。而微分方程的形式所反映的正是一事物同外部事物之间的相互作用与相互影响的关系。比如我们知道了一个引力场的状况，我们就能给出在这个引力场中物体运动满足的微分方程，表面上看，这个微分方程所描述的仅仅是这个物体本身的运动状况，但实际上，它所反映的正是这个引力场同这个事物之间相互作用的关系。 同样我们用混沌还可以说明人的成长过程，比如说两个人在几乎同样的环境中成长起来，但他们的性格、思想却很可能相差很大。这里面的道理同我们上面所说的其实是完全一样的。 到了这里关于内部矛盾和外部矛盾关系的论述就可以告一段落了。本来，还该去考察一下社会发展过程中的一些问题比如为什么中国最先进入封建制度（当然黄仁宇认为中国秦汉以来的社会不能称之为封建社会，我想这牵涉到对概念的理解问题了）却很晚才走出封建制度以及去分析一下西欧进入资本主义以及俄国十月革命进入社会主义的状况，以便能更好的证明毛X泽X东的事物发展的根本原因是其内部矛盾的观点的错误性；同时如果我们把社会的文明程度和进步程度看成是负熵的话，考察一下这种负熵究竟按照什么规律变化，也还是一件有意义的事。但现在时间不够就只好算了。 不过关于这部分的内容还有几句话是必须要说的。我们可以看到在毛X泽X东的文章里，他口口声声的在说唯物辩证法，在抨击形而上学。但是就他的观点的实质来说，倒才是真正的不折不扣的形而上学，而且由这种观点出发，完全有可能通向唯心主义。 按照辩证法的观点必须用联系发展的眼光来看待事物，事物是普遍联系的，脱离了事物之间的相互联系相互作用来谈论事物的存在都是没有任何意义的，更不必说去谈论事物的发展了。而毛X泽X东的观点显然与之相违背。 很显然由毛X泽X东的观点出发，就不能深刻理解斯大林所说的“一切以时间、地点、条件为转移”。而且就会产生同共产主义相根本违背的思想，会把一切黑暗丑恶现象的存在看成是理所应当、天经地义的事，就会得出如果一个人犯罪，同社会关系不大，主要因为他自己的本性坏，天生是个恶棍的荒谬结论来。 而且如果把毛X泽X东所说的“把事物的发展看成是事物内部的必然的自己的运动,事物发展的根本原因不是在事物的外部而是在事物的内部”这一套搬去考察人的意识同外部环境之间的关系的话，那是必然要得出唯心主义的结论的。大约很可能象中国那个古代和尚惠能，别人看见风吹旗动，他却要认为是心动。 很显然毛X泽X东的看法同辩证唯物主义完全是相违背的。所以毛X泽X东后来犯下大跃进，文化大革命的错误除了他患了自大狂以外，还自有其哲学上的根源。 接下来我们根据事物发展的根本原因是外部矛盾，内部矛盾归根结底是由外部矛盾引起的这个观点来考察一下数学的发展。由于现在时间实在是不够了，我们只好把问题最简略的叙述一下。 我们可以考察一下微积分的产生这件事。事实上微积分的思想早在古希腊的时候就有萌芽，比如说德谟克利特的数学原子论，芝诺悖论,欧多克斯的穷竭法以及阿基米德把无穷小观点和穷竭法结合起来等等。但在随后的一千几百年的时间里，这方面的进一步发展却微乎其微，一直到了十六世纪，情形才发生改变。而这种改变同社会的发展、其他学科的发展是有着紧密联系的，正是在天文、航海、机械等方面的实际需要推动了微积分的诞生，而且尤其值得注意的是对微积分的诞生有重大贡献的人物几乎都不是专门的数学家，象开普勒、伽利略、牛顿都可以说是物理学家天文学家，费尔马是业余数学家，莱布尼兹则可以算是哲学家。 一方面外部矛盾推动了数学的发展，使微积分诞生，而同时微积分的诞生本身又标志着数学重大内部矛盾的出现。也就是说微积分在各个方面被广泛的应用，获得了巨大的成功，但它在数学上却缺乏一个严密的逻辑基础。而这个矛盾的产生，及其解决又进一步推动了数学的发展。一系列杰出的数学家在使微积分的严密化方面作了大量的工作，这其中包括欧拉、达兰贝尔、拉格朗日、波尔察诺、柯西、阿贝尔、狄利克雷、魏尔特拉斯，一直到最后康托建立了集合论使这个过程达到了最高X潮。而微积分的严密化又带动了一大批新的数学分支的建立和发展，尤其是康托建立的集合论，一方面为所有的数学提供了共同的基础，为他们的进一步发展提供了广阔的前景；另一方面又给数学带来了新的重大矛盾，产生了罗素悖论（即理发师悖论），而对这些悖论的研究又导致数学基础、数理逻辑的重大发展；并且在对康托提出的连续统假设的解决过程中还出现了哥德尔不完全性定理这样具有哲学意义的出色结果。 这个过程给人的印象就好象是数学在完全独立的发展，好象完全是数学的内部矛盾在推动数学的发展。但是不应该被这样的假象所迷惑，不要忘记正是外部矛盾推动了微积分的诞生，从而给数学带来了重大的内部矛盾。实际上用耗散结构的观点来说就是在外部环境的作用下，“数学”这个系统远离了平衡态（也就是数学各部分之间发展的不均衡性，不对称性）。正是在远离平衡态的情况下，数学这个系统才出现了耗散结构，才出现了自组织现象。另一方面，为了维持数学的耗散结构，为了维持数学的自组织，就必须使数学一直是个开放系统，就必须有外部环境（这里面既包括其他的学科如物理、化学、工程机械、哲学等，也包括社会发展状况等因素）对数学的持续作用。之所以有这么多的数学家在这么长的时间内前浪继后浪地从事着微积分严密化的工作，如果不是在其他科学应用微积分的过程中本身就提出要更准确更方便更灵活的使用这一数学工具的迫切要求的话，那是难以想象的。另外数学家在解决问题的过程中，所提出的一些概念思想，也不是数学本身所能完全提供的，很多情况下往往是受了其他学科的启发包括某种哲学思想启发的结果。 如果我们用控制论的观点来说的话，那么数学这个系统实际上在不断地进行输出和输入。所谓输出就是大量的数学工具被运用到其他科学如物理、化学、生物、经济学上；而输入包括两个方面，一方面是输出的反馈：也就是其他科学X运用数学的情况比如哪些数学工具非常有用值得大力地进一步发展，哪些数学工具还有许多缺陷不足应该加以改进，这些情况被反馈到了数学本身，在很大程度上就决定了数学进一步发展的状况；另一种输入就是其他学科的概念、方法，以及一些社会现象、自然现象对数学家创立新概念新方法的启发。关于前一个方面，可以举大量的例子，比如数学中的非欧几何，张量分析在广义相对论之前就出现了，在广义相对论之后却得到了加倍的重视和研究；而后一个方面，我们可以举出广义函数，事实上，正是在量子力学中先用到了广义函数（在我的印象中好象是狄拉克用到的），后来数学家才对广义函数进行了研究，并给出了严格的定义。 其实数学的输入输出，在一些数学分支的诞生中表现的是相当明显的。比如象微分方程论，概率论，数理统计、组合数学、图论、模糊数学，最优化理论等等都是数学这个系统和外部环境相互作用，输出输入的结果。 由于时间不够，我们的论述就到这里结束了。 | 
发表于 2016-12-15 16:06:12
